Primer Mural Teselado de Penrose de Chile: Hacer real lo que parece imposible

“Lo que interesa es poder llegar a la gente con otros lenguajes que no sea sólo el simbólico, la idea es que al interactuar con el objeto en sí mismo se aprendan cosas, porque se va integrando conocimiento con el sólo hecho de manipularlo”, Anahí Gajardo.

Dra. Anahí Gajardo.

Siempre es grato recorrer el campus de la Universidad de Concepción, es uno de los paseos favoritos de quienes habitan la ciudad y de muchos viajeros que no pueden evitar tomarse selfies por los alrededores. El paisaje aunque ha cambiado a lo largo de los años, mantiene esa energía que te invita a soñar, a reflexionar y a maravillarse con la variedad de personas y actividades que le dan vida a aquel espacio, como los niños que disfrutan recorriendo cada uno de los recovecos mientras sus padres les acompañan tratando de seguirles el ritmo, o los adolescentes y universitarios quienes invaden las amplias áreas verdes mientras el reloj del campanil marca las horas sin que ellos se den cuenta de aquello.

Claramente hay más edificaciones que antes, con ello nuevos rincones que descubrir, como el Teselado de Penrose ubicado en la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas que ya comienza a captar la atención de muchos, donde a lo lejos el naranjo invade enérgicamente, mientras el verde intenso refresca la visión que a ratos es absorbida de manera casi hipnótica por las formas geométricas que posee.

El proyecto está a cargo de la profesora del Departamento de Ingeniería Matemática, Anahí Gajardo Schulz, quién aceptó el desafío de poder desarrollar este trabajo en la facultad.

Los inicios

¿Por qué un Teselado de Penrose?

“El Teselado de Penrose es una cosa extraordinaria, ya que todos los que son más menos del área lo encontramos fantástico, las propiedades que tiene son increíbles y siempre se encuentran más”.

“En los años 70 cuando Penrose lo descubrió, este tipo de teselado rompió paradigmas. Realmente fue como un hito en la historia de la geometría. Por su importancia y porque además es un teselado que muchas universidades han implementado es que decidí llevar a cabo este trabajo. La gracia del teselado es que uno lo puede apreciar en distintos planos, tanto como por observación directa, como cuando uno comienza a estudiar sus propiedades matemáticas”.

“En cuanto a cómo desarrollarlo siempre lo pensé como un mural, porque se aprecia mejor y además eso le diferencia, ya que rara vez se ha llevado a la práctica de esa manera. Otro aspecto fundamental para el desarrollo del proyecto era que el mural pudiese verse siempre, no importando si la facultad estuviese abierta o no”.

La idea fue tomando forma cuando Anahí decidió participar del proyecto de la Dirección de Extensión, llamado Arte y Ciencia, que tiene como objetivo juntar a un artista y a un científico a trabajar juntos y así producir algo interdisciplinario y el mural calzaba perfecto con los objetivos a los cuales están destinados esos fondos.

“Cuando vi el llamado, supe que era la oportunidad, porque luego con qué cara voy a pedir financiamiento a alguien más. Entonces comencé a buscar qué artista podría apoyarme y una amiga me dio el nombre de Juan Carlos Oliva Molina, quien ya tenía experiencia con dos murales en la población Lorenzo Arenas. Además de ello había trabajado con científicos, colaborando en CICAT con diseños de estructuras”.

Como nos explica la docente, existen varios tipos de teselados. “Los teselados dependen de si los haces con un polígono regular, los que usan polígonos no regulares. Hay otros que usan más de un polígono, en esos casos se logran teselados bien bonitos. El Teselado de Penrose no es ni regular, ni usa sólo uno, son dos, y son dos rombos”.

“El primer teselado que propuso Penrose es uno que se inspira en el trabajo de Kepler y utiliza estrellas, pentágonos y rombos. La base son cuatro piezas distintas pero les agrega unas decoraciones especiales, ese es el primero que él definió y del cual demuestra sus propiedades. Con ese teselado Penrose ya causó una gran impresión, pero su trabajo no terminó ahí, para hacerlo más elegante lo redujo a dos piezas que él llama cometa y punta de flecha. Luego de este creo el teselado que yo realice, que usa un rombo delgado y uno más grueso”.

¿Cuál es la gracia de todo esto?

“Roger Penrose define sus formas con decoraciones que indican qué piezas se pueden poner al lado de otras y cómo. Si uno respeta estas restricciones de “pegado”, lo que va a obtener siempre va a ser no periódico. Eso significa que no habrá nunca un patrón que se repita trasladado al lado de sí mismo indefinidamente”.

“Es diferente a lo que encontramos cuando ves un papel mural, o una tela, ya que estas son impresas con cilindros que necesariamente repiten un patrón, pero un teselado de Penrose no se puede imprimir así, él define esas restricciones de manera tal que no exista forma de hacerlo periódico, ¡nunca!. Ahora uno ve cosas repetidas pero jamás con la misma traslación y lo que las rodea tampoco es lo mismo. Esto es consecuencia de la característica auto similar que tiene este patrón”.

La geometría de Penrose

Entonces, ¿Cómo se construye un Teselado que además logre cubrir una gran superficie?

“Si yo quiero construir una embaldosado, yo defino una parte, luego lo repito, y ahí tengo el embaldosado completo, pero si el embaldosado es siempre distinto, ¿cómo lo logro obtener hasta el infinito?. Roger Penrose demuestra que esto si se puede cubrir hasta el infinito, y es mediante una técnica sustitutiva que consiste en fabricar con las formas que se tienen, piezas similares, pero más grandes, y cuyas restricciones de adherencia son las mismas. Entonces el proceso lo puedo repetir, porque esas más grandes puedo distribuirlas igual como las distribuí antes y formar una de mayor tamaño aún”.

“Cuando aparecieron los computadores, los matemáticos se pusieron de cabeza a trabajar en el problema ¿seremos capaces, mediante un algoritmo, un proceso automático, determinar si tal juego de baldosas puede cubrir el plano infinito o no?. La persona que planteó esto, lo que pensaba es que había un algoritmo que lo iba a poder hacer automáticamente. Esa pregunta pasaba por el tema de la periodicidad, porque si yo logro encontrar un patrón cuadrado, que calza perfectamente y lo puedo ir pegando por todos los lados, entonces respondía a la pregunta “¡sí! se puede”, entonces una cosa finita, me responde a una cosa infinita. Pero resulta que poco tiempo después de ser planteado el problema, vino un informático y demostró que no se podía y que de hecho existen los embaldosados no periódicos”.

“Entonces es demostrar algo, hacer aparecer un objeto que se creía que no existía y el caso del pentágono además es particularmente místico. Porque todo el mundo en el colegio sabe que los teselados regulares son el cuadrado, el triángulo y el hexágono, y se salta el pentágono, porque justamente con él no se puede hacer eso. Porque cuando tu pones dos pentágonos al lado y tratas de poner un tercer pentágono siempre queda un hueco, no hay nada que hacer al respecto.”

“Pero es más profundo que eso, se sabe que no existe ningún conjunto de figuras que tesele el espacio de manera periódica y que al mismo tiempo tenga simetría rotacional pentagonal. No solamente no se puede teselar con pentágonos regulares, si no que no se puede teselar con ninguna figura que tenga la simetría del pentágono. Y eso está demostrado, y nadie va a aparecer con la sorpresa de que se puede”.

“La trampa, lo que hace Roger Penrose y por qué logra hacer esto, es porque lo que él realiza, si bien tiene simetría pentagonal, la gracia es que no es periódico. Trasforma a posible lo que se creía imposible, pero porque violó una condición que no se creía posible violar: la periodicidad”.

“Es hermoso porque también se relaciona mucho con el arte Islámico. Ellos usaban las teselaciones, mosaicos geométricos, y el pentágono representaba al ser humano, tenemos cinco extremidades contando la cabeza entonces hay una analogía lógica. Ellos siempre teselaron usando pentágonos, pero como no podían hacerlo en forma periódica se las arreglaban para introducir pequeñas violaciones. Luego se descubrieron en algunos edificios del siglo XV que habían patrones usando simetría pentagonal y que no eran periódicos”.

“Unos físicos los estudiaron a fondo y se dieron cuenta de que efectivamente correspondían casi a un Penrose, o sea si Roger Penrose hubiese descubierto esas ruinas probablemente su trabajo hubiese sido más fácil, ya que todas las ideas que están en la técnica de Penrose estaban también ahí”.

Transposición en Arte

¿Cómo se logró obtener este hermoso mural?

“Para aclarar es importante decir que esto no es un mosaico. Primero que nada las baldosas no van pegadas, si fuera así se notarían mucho los errores. Van separaditos para que esa holgura permita ir ajustando los ángulos y que globalmente se vea bien”. Para llevar a cabo este trabajo, además del talento humano se necesitó de un Software, porque el teselado es tan complejo que hacerlo a mano es imposible. El Software es de fuente libre y se llama Processing.

“Comenzamos con eso en octubre de 2016, estuvimos trabajando en el diseño, donde nos demoramos unos tres meses, pero faltaban los colores, cosa importante ya que éstos van asociados al material, y este presenta restricciones en ese aspecto”.

“Finalmente lo hicimos en cerámica, éstas son esmaltadas en Santiago en una fábrica artesanal que usa las mismas técnicas desde hace décadas, entonces no hay una baldosa igual a la otra, eso es muy bonito y además es Made in Chile”.

“Una vez que comprendimos que el material óptimo era la cerámica, bastaba con elegir los colores y lo bueno de este material es que tiene una gran gama de ellos. Se introdujo la paleta de tonalidades en el software e íbamos probando con distintas combinaciones, pero lo que finalmente nos orientó, fue comenzar a mirar nuestro entorno y ver cuáles eran los colores que nos rodeaban. Lo primero fue el verde que salta a la vista, está en todas partes. El otro color que estaba presente era el de los ladrillos, es la única facultad que está construida con ladrillos. Decidimos seguir con el mismo juego, ya que era como un eco. Cuando ya entendimos eso, pusimos los colores en el software y se veían bien”.

Las baldosas las fueron a comprar personalmente Anahí junto con Juan Carlos, ya que no era lo mismo poner los colores en el computador que verlos directamente en el objeto, por lo que descubrieron las tonalidades finales ahí con las cerámicas en mano.

“Como las baldosas son cuadradas, hubo que cortarlas, se usó la guillotina de diamante, que es lo más apropiado, porque es un corte muy fino, que desgasta poco el material y no se rompe. Se diseñaron unos moldes que ayudan a fijar la baldosa en el ángulo en que quieres cortar, en este caso fueron 6 moldes con ángulos de 18, 72 y 36 grados”.

“Lo importante era que los rombos quedaran bien hechos y todo estaba diseñado para que así fuese, pero de la teoría a la realidad, siempre hay errores, por ejemplo nos encontramos con que la guillotina cortaba un poco más grueso de lo que yo creía, yo apostaba por un milímetro, pero finalmente fueron cuatro milímetros, por lo que las baldosas quedaron más chicas, y se tuvo que reducir el diseño completo”.

¿Cómo es unir el Arte y la Ciencia?

“El arte es un reflejo del ser humano, de la sociedad, entonces también es un reflejo de las ideas, del pensamiento, de los sentimientos”.

“A mí me gusta ver esta fusión como un diálogo, porque de pronto en la sociedad, en los individuos o en la ciencia, hay ideas, y el artista es capaz de plasmar eso que está en el ambiente y al verlo en el formato logrado, las personas pueden reaccionar ante eso, comprenderlo mejor. Lo mismo pasa con la ciencia, cuando nosotros estamos estudiando un problema, por ejemplo, en matemática en particular que es puro razonamiento, se puede trabajar sobre cosas totalmente artificiales y uno lo enfrenta en la mente y se ve reflejado en teoremas, que puedes escribir de muchas distintas maneras, según los símbolos que se están usando, las estructuras que definiste. Entonces en Matemática no solo está el resultado, está su representación y en ese sentido, cuando tú estás investigando, escribes, dibujas formulas, resuelves el problema, te dan resultados intermedios y eso es parecido a lo que teníamos antes, que en el fondo uno hace un feedback, de lo que está en la mente y lo que está fuera de uno y se crea una relación con ello”.

El día 8 de enero, se realizó una ceremonia en la que los asistentes disfrutaron de una charla dictada por los creadores de éste mural, donde expusieron en detalle todo el desarrollo de la obra. Luego de aquella primera parte y entre aplausos frente al Teselado, con la presencia de Roberto Riquelme, Decano de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Andrea Rodríguez, Vicerrectora de Investigación y Desarrollo de la Universidad de Concepción, docentes de la facultad, alumnos, familiares y público en general, se dio por inaugurado el Primer Teselado de Penrose de Chile, dejando un precedente de que al combinar el arte y las matemáticas se pueden lograr hermosos trabajos para que toda la comunidad y no sólo los expertos puedan disfrutar y Así a través de este meticuloso trabajo se puede percibir de manera directa que las matemáticas, al igual que las artes, son una manera en la que nos podemos expresar.

Te invitamos a conocer más acerca de la trayectoria de esta investigadora en el artículo “Anahí Gajardo Schulz: Acercando las matemáticas a la comunidad”…